Avec le LMD c'est un truc qu'on doit voir en L3 et revoir en M1, au moment de le faire ça vaut le coup de s'intéresser aux exemples d'actions classiques que sont les espaces vectoriels et les espaces affines.

En gros l'action d'un groupe (G;T) sur un ensemble E c'est une application de GxE dans E qui vérifie deux points (on va la noter ainsi: à (g,x) elle associe g*x, mais on peut aussi la noter additivement):
1/ pour x de E, e*x=x
2/ pour tout couple (g;h) de GxG, pour tout x de E (gTh)*x=g*(h*x)

Et les exemple classiques:
-dans le cas d'un K-ev E, l'action de (K;.) sur E s'appelle "multiplication par un scalaire", elle est notée multiplicativement et est donc définie par KxE->E tq (a;V)->aV

-dans le cas d'un espace affine A d'espace vectoriel associé E l'action de (E,+) sur A est appellée "somme d'un point est d'un vecteur" et elle est notée additivement, elle est définie par AxE->A tq (M,V)->M+V
(ici elle doit en plus vérifier les propriétés de fidélité et de transitivité mais tu verras ça plus tard).

ça a l'air cool ce truc, comme je n'ai pas l'habitude de le manier je ne le visualise pas trop (d'ailleurs j'ai remarqué que je ne visualisais que les truc usuels, et je ne comprend pas comment certains font pour visualiser des trucs abstraits: l'autre jours, le prof de topo nous a affirmé que l'adhérence d'un ensemble fermé non nul n'était pas forcément lui-même. je n'arrive toujours pas à piger ce truc. et ce qui est fou, c'est que ce prof est aveugle, ce qui est un comble pour la topo, dans laquelle je ne pourrai pas faire un seul pas sans faire un dessin.

Voila:
page 1
page 2
page 3
(avec entre autres un truc pas beau en bas de la page 3, l'accolade c'est pour dire que A est fermé et non vide puisque j'avais oublié de repréciser, j'ai malheuereusement une sale tendance à employer des tas d'abus de notations quand je fais un truc rapidement, j'ai aussi zappé des tas de détails comme l'appartenance à R des epsilon et deltas, que je considère ici comme "évidente" puisque j'ai précisé que d est une distance).

Edit: quelle horreur, en me relisant j'ai vu une erreur dans la page 1, j'ai écrit "l n'appartient pas à A alors Un appartient au complémentaire de A", je voulais bien sûr écrire "alors l appartient au complémentaire de A". Comme quoi se relire avant de scanner aurait été plus malin

on a vraiment un prof pourri: je tchèque dans mon cours pour voir si l'on a cette super propriété sur la convergence d'une suite dans un fermé, et je m'aperçois que le prof démontre la première implication de cette manière:
"l appartient à A complémt. , donc les Un n'y appartiennent pas à partir d'un certain rang". et pour la réciproque, j'ai noté "à faire chez sois"(alors qu'elle me semble beaucoup plus complexe). ce prof en a rien à foutre qu'on comprenne où pas, et il balance son cours n'importe comment et nous laisse tous faire. heureusement ce n'est pas le même prof en td.

sinon, je suis justement bloqué dans un dm à une question qui rejoint tout ça:

en fait, on veut monter que A={x,y de R tq 3=<3*x^2+5*y^4=<12} est l'adhérence de A*={x,y de R tq 3<3*x^2+5*y^4<12}

je voix comment on pourrai s'en sotir avec deux pages de calcul en fabriquant des suites pour que A* soit inclus dans l'adhérence de A et vice versa, mais le dm veut qu'on utilise le résultat précédent, c'est à dire qu'on pose la droite Dt: y=xt, et on se propose de comparer A inter Dt et A* inter Dt.

donc A* inter Dt est facilement l'adhérence de A inter Dt, il suffit de regarder la projection en x et y.

ce résultat fonctionne pour tout t, donc l'idée serait de "balayer" l'ensemble A avec toutes les droites. mais le probleme est là: en quoi la réunion de segments adhérents formerait un ensemble adhérent? c'est à dire pourquoi le fait que "A* inter Dt adhérence de A inter Dt" implique "(U Dt) inter A* adherence de (U Dt) inter A" ?

en plus, il y a un probleme pour la droite x=0

Ahhh... souvenirs des cours de topologie où on nous apprennait à montrer que l'ensemble des matrices inversibles de taille n était un ouvert de Mn(R)... nostalgie

faut pas montrer que l'application qui à une matrice associe son déterminant est continue, et alors on a pour toute matrice M, det(M) appartient à ]0,infini] qui est ouvert, et l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert ?

si c'est bien ça je suis trop contant !

EDIT: mais ça ne m'aide pas dans mon dm...

yaha, ça y est j'en suis au moment le plus redouté dans la rédaction de mon dm, il faut que j'écrive rigoureusement le langage mathématique "si on ballait tout R^2 avec la droite Dt en faisant varier t, alors la réunion des A* inter Dt sera l'adhérence de la réunion des A inter Dt, car A* inter Dt est l'adhérence des A inter Dt quelque soit t." ce qu'il faut, je pense, ablsolument prouver, et je NE SAIS PAS DU TOUT COMMENT FAIRE
HAHAHAHAHAH, demain en plus j'ai un ds d'algèbre à 8h30, que je n'ai pas du tout révisé, et je ne suis pas près d'avoir finit mon dm, qui devait déja être rendu hier.

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donc j'ai inventé une mixture où je fais mine de m'en sortir, en tournant un peut au tour du pot, en disant bien tout ce qu'on peut dire, même si c'est inutile, du moment que c'est vrai, et surtout en affirmant un résultat qui reste à prouver: A*-A=B et A*fermé, où B appartient à l'adhérence de A => A*=adhérence de A. je ne sais même pas si c'est vrai ou pas, si faudrait le démontrer ou pas, je déteste faire ça d'ailleurs, affirmer un truc que je suis pas sur, en math c'est comme se jeter dans un gouffre où on voit pas le fond, je suis foutu.

[prof]Il ne faut pas tout faire au dernier moment![/prof]
Comme c'est urgent je n'ai pas le temps de vérifier que A inter Dt est l'adhérence de A* inter Dt quelque soit t puisque ça a l'air coriace (je pense qu'on doit pouvoir le faire de différentes façons, par exemple montrer que A inter Dt est le plus petit fermé contenant A* inter Dt).
Mais une fois qu'on en est là pour rédiger on écrit des trucs du style que l'union pour t appartenant à R des Dt est égale à R donc l'union pour t appartenant à R des A inter Dt est égale à A, on a le droit de faire des union de trucs comme ça.
Mais là je réponds vraiment à la va-vite et je ne suis pas complètement sûr de mon coup, pour ça il faudrait que je prenne le temps de tout bien faire pour voir si ça tient la route, comme tu l'a dit il faudrait par exemple vérifier que la réunion infinie des adhérences est l'adhérence de la réunion avant d'utiliser ce résultat.

En fait il faudrait que j'essaie de le faire sérieusement, sans ça je risque de raconter des bêtises.
La prochaine fois poste ton sujet un peu plus tôt, c'est plus prudent.

Du coup Jako, comment s'est passé ton DS ce matin ?

Bon comme il fait mauvais je me suis lancé dans le DM, pour montrer que A inter Dt est l'adhrence de A* inter Dt j'ai bêtement montré que A* inter Dt était dense dans A inter Dt (comme la fonction x->x^2+5t^4x^4 est continue avec le distance infinie ça fonctionne bien) mais après pour passer aux réunions il y a un hic, parce qu'en fait l'adhérence d'une réunion infinie n'est pas nécessairement la réunion des adhérences, par exemple si on se place sur l'adhérence de R muni de le distance usuelle, on peut choisir
pour tout t réél Bt=[0;t]
et on a alors UBt=R+
or adh(R+)=R+ U {infini} et U(adh Bt)=R+ dans ce cas c'est donc différent.

Bref il semblerait qu'il faille faire du cas par cas, ou alors on peut éventuellement essayer de s'en sortir en exprimant les ensembles A et A* en fonction de t, puisque c'est possible avec un peu de courage (il en faut parce que les solutions de x^2+5t^4x^4=3 et x^2+5t^4x^4=12 sont casse-pieds à écrire) puis s'occuper de l'adhérence après, comme ça le problème de la réunion ne se pose plus. Si j'ai un peu de temps je tenterais de finir ça.